عجایب فیبوناچی
دکتر کیامرث فتحی هفشجانی
عدد في از دنباله ي فيبوناچي مشتق شده است، تصاعد مشهوري كه شهرتش تنها به اين دليل نيست كه هرجمله با مجموع دو جمله ي پيشين خود برابري مي كند. بلكه به اين دليل است كه خارج قسمت هر دو جمله ي كنار هم خاصيت حيرت انگيز، نزديكي به عدد 1.618 را دارد.
نكته ي جالب اين است كه عدد في با عدد پنج نسبت جالبي دارد كه در زير مشاهده مي كنيد:
5.+5.*5.^5 = Phi
در زير مقداري از اين عدد نا متناهي را مي بينيد:
.
حيوانات، گياهان و حتي انسان ها همگي با دقتي بسيار بالا وجوهي از ضرايب في به يك مي باشند. دانشمندان قديم 1.618 را نسبت الهي عنوان كرده اند. براي آشنايي بيشتر با اين نسبت به چند نمونه ي زير توجه كنيد:
در يك كندوي عسل هميشه تعداد زنبورهاي ماده از نرها بيشتر است. حال اگر تعداد زنبورهاي ماده را به نر تقسيم كنيم در هر كندويي در هر گوشه ي دنيا يك عدد ثابت بدست مي آيد. كه همان في است.
نسبت قطر مارپيچ هاي حلزون نيز نسبت 1.618 به يك را دارد
تخمه هاي آفتابگردان به شكل مارپيچ هايي روبروي هم رشد مي كنند. نسبت قطر هر دايره به دايره بعدي 1.618 مي باشد .
به نسبت هاي طولي و عرضي خطوط رنگي دقت كنيد. نسبت خطوط به هم 1.618 مي باشد .
نسبت طولي و عرضي خال هاي پروانه ها، نسبت في است
فاصله سر تا زمين را تقسيم بر فاصله ي شكم تا زمين نماييد. عدد حاصله 1.618 مي باشد.
فاصله شانه ها تا نوك انگشت تقسيم بر فاصله آرنج تا نوك انگشت هم بيانگر عدد في مي باشد.
نمونه هاي ديگر:
باسن تا زمين تقسيم بر زانو تا زمين
مفاصل انگشتان. تقسيمات ستون فقرات و .
عجایب ریاضی
دانشمندان دریافته‌اند، در گل آفتابگردان رشد دانه‌ها از مرکز به سمت بیرون بر اساس الگوی دنباله اعداد عجایب فیبوناچی فیبوناچی صورت می‌گیرد.
طبق تحقیقات انجام شده، نسبت قطر هر مارپیچ به مارپیچ بعدی 618/1 عجایب فیبوناچی است. این الگو علاوه بر آفتابگردان در بسیاری از برگ‌ها، گلبرگ‌ها و دانه‌ها نیز دیده می‌شود.
دانشمندان می‌گویند، علت تبعیت آفتابگردان و دیگر گیاهان از این الگو کارایی آن است.
به عبارت دیگر، اگر اندازه زاویه هر دانه با دانه دیگر یک عدد گنگ یا ناگویا باشد دانه‌های آفتابگردان می‌توانند بیشترین تعداد را داشته باشند.
ناگویاترین عدد، همان نسبت طلایی یا عدد فی است که نسبت نزدیکی با دنباله فیبوناچی دارد. در همه گیاهانی عجایب فیبوناچی که از الگوی فیبوناچی تبعیت می‌کنند زاویه بین دانه‌ها با نسبت طلایی یا عدد فی مطابق است.
* سیاهچاله‌های فضایی
وجود سیاهچاله‌ها را در اصل یک ریاضیدان کشف کرد. ابتدا دانشمندان در این باره که سیاهچاله‌ها واقعا چه هستند، ایده‌ای نداشتند، جز این که پشت پرده ایجاد سیاهچاله‌ها، یک بی‌نظمی ریاضی واقعی نهفته است. به همین علت، سیاهچاله‌های فضایی از بهترین نمونه‌های ریاضی در جهان هستی به شمار می‌آیند.
به زبان ساده، یک سیاهچاله قسمتی از فضا با جرم متمرکز بسیار زیاد است، به طوری که هیچ چیزی امکان فرار عجایب فیبوناچی از جاذبه آن را ندارد. دانشمندان نشان داده‌اند، وقتی ستاره‌های پرجرم، سوخت خود را به طور کامل مصرف می‌کنند، نمی‌توانند جرم خود را تحمل کنند و نیروی جاذبه خودشان بر خودشان غلبه می‌کنند و درون خود فرو می‌ریزند و به اصطلاح می‌رُمبَند.
به گفته دانشمندان، با استفاده از معادله نسبیت عام اینشتین نه‌تنها می‌توان وجود پدیده‌های نجومی و فیزیکی مانند سیاهچاله‌ها را اثبات کرد، بلکه می‌توان ایجاد آنها را پیش‌بینی کرد. برای مثال، بر اساس فرمول ریاضی تشکیل سیاهچاله‌ها، اگر خورشید را طوری فشرده کنید که شعاع آن به 3 کیلومتر ـ یعنی چهار میلیونیوم اندازه کنونی‌اش برسد یا زمین ما تا رسیدن به ابعاد یک گردو فشرده شود، به یک سیاهچاله فضایی تبدیل می‌شود. سیاهچاله‌ها از شگفت‌انگیزترین نمونه‌های عجایب فیبوناچی ریاضیات در جهان خلقت هستند.
* پارادوکسی نزدیک به جادو
ماهیت ناشناخته ریاضیات می‌تواند آن را شبیه به جادو کند. یک قضیه هندسی معروف به پارادوکس Banach-Tarski می‌گوید: اگر شما یک توپ را در فضای ۳ بعدی داشته باشید و آن را به چند قطعه خاص تقسیم کنید، راهی وجود دارد تا با سرهم کردن قطعات دو توپ داشته باشید.
بریتز می‌گوید: «این موضوع پیش از این هم جالب بود، اما اکنون زیبایی آن پررنگ‌تر شده است. وقتی دو توپ جدید ایجاد شوند هر دو به اندازه توپ اول خواهند بود. شما نمی‌توانید این کار را در زندگی واقعی انجام دهید، اما از نظر ریاضی امکانپذیر است. این جادوست. امیدوارم افراد بیشتری به سرگرم‌کنندگی ریاضیات پی ببرند. هنوز زیبایی‌های بیشتری برای عجایب فیبوناچی کشف کردن وجود دارد.»
* نسبت طلایی
نسبت طلایی (یا 'ϕ) شاید محبوب‌ترین قضیه ریاضی برای زیبایی باشد. این نسبت زیباترین راه برای تعیین مقیاس زیبایی یک شیء شناخته می‌شود.
بریتز می‌گوید: «در طول تاریخ، این نسبت به عنوان معیاری برای فرم ایده‌آل؛ چه در معماری و آثار هنری و در بدن انسان مورد استفاده قرار می‌گرفت. آن را «نسبت الهی» می‌نامیدند. بسیاری از آثار هنری مشهور، مانند آثار داووینچی دارای این نسبت هستند.
* عدد پی: حقیقتی ناشناخته
پی، عددی است که ما ابتدا در دبیرستان آن را یاد می‌گیریم. این عدد کمی از ۳ بیشتر است. پی، هنگامی استفاده می‌شود که با دایره‌ها سروکار داشته باشیم و مثلا بخواهیم مساحت دایره را با قطر آن و عدد پی حساب کنیم. قاعده این است که، برای هر دایره، مسافت در اطراف لبه تقریباً ۳.۱۴ برابر فاصله در مرکز دایره است.
اما «پی» چیزی بیشتر از این است. بریتز می‌گوید: «وقتی شما به دیگر جنبه‌های طبیعت نگاه کنید، پی را همه جا می‌بیند. نه تنها در دایره‌ها بلکه پی گاهی اوقات در فرمول‌هایی ظاهر می‌شود که هیچ ارتباطی با دایره‌ها ندارند. تصور میکنیم که درباره پی خیلی مطلب می‌دانیم، اما درواقع چیزی از آن نمی‌دانیم.»
عدد پی بینهایت و ناشناخته است. تابه‌حال هیچ الگویی در قسمت اعشاری آن مشخص نشده است. برخلاف اینکه مشهورترین عدد است، رمز و راز‌های بسیاری درباره آن وجود دارد. بریتز افزود: «این عدد عجیب که به نوعی تمام حلقه‌های جهان را بهم پیوند می‌دهد چیست؟ حقیقت اساسی برای پی وجود دارد، اما آنرا درک نمی‌کنیم. همین موضوع آنرا زیباتر می‌کند.»
* پیچ و خم
پیچ و خم‌ها الگو‌هایی هستند که خودشان را در مقیاس‌های کوچک تکرار می‌کنند. هرچه از نزدیک‌تر آنها را ببینید؛ تکرار‌های بیشتری مشاهده می‌کنید. شبیه به برگ و ساقه گیاه سرخس. بریتز می‌گوید: «این الگو‌های تکرارشونده هرجایی از طبیعت حضور دارند. در دانه‌های برف، شبکه رودخانه‌ها، گل‌ها، درختان، صاعقه‌ها یا حتی رگ‌های خونی.»
پیچ و خم‌های طبیعت اغلب توسط چندین لایه تکرار می‌شوند، اما پیچ وخم‌های تئوری می‌توانند بینهایت باشند. بسیاری از شبیه‌سازی‌های تولید شده توسط رایانه به عنوان مدل‌های پیچ و خم‌دار بینهایت ایجاد شده‌اند.
بریتز افزود: «شما می‌توانید روی پیچ و خم‌ها تمرکز کنید، اما هیچگاه به انتها نمی‌رسید. پیچ و خم‌ها بینهایت عمیق‌اند. شما ممکن است یک صفحه پر پیچ و خم داشته باشید، اما مساحت کلی که ترسیم کرده‌اید هنوز صفر است زیر آنها تنها یکسری خطوط نامتنهی هستند.»
* تقارن با لمس شگفتی
در سال ۲۰۱۸، دکتر بریتز درباره ریاضی احساسات سخنرانی داشت، جایی که او از مطالعات اخیر بر ریاضی و احساسات برای لمس چگونگی اینکه ریاضیات ممکن است احساساتی مانند زیبایی را توضیح بدهد، استفاده کرد.
او می‌گوید: «وقتی ما الگویی را متوجه می‌شویم، مغزمان به ما پاداش می‌دهد. خواه این جایزه دیدن عجایب فیبوناچی تقارن باشد یا سازماندهی بخش‌هایی از کل و حل معما. وقتی موقعیتی را می‌بینیم که از یک الگو منحرف می‌شود، مغز ما دوباره به ما پاداش می‌دهد و احساس لذت و هیجان میکنیم.»
برای مثال، انسان چهره‌های متقارن را زیبا می‌داند. با این حال، ویژگی که تقارن را بصورت جالب و غافلگیرکننده‌ای (مانند یک خال) می‌شکند به زیبایی می‌افزاید. بریتز افزود: «چنین ایده‌ای در موسیقی نیز می‌تواند دیده شود. صدا‌های طراحی و مرتب شده با مقداری لمس غیرمنتظره می‌توانند ویژگی، جذابیت و عمق آن را بیافزایند.»
بسیاری از مفاهیم ریاضی یک هماهنگی مشابه بین الگو‌ها و شگفتی، ظرافت و بهم ریختی، حقیقت و راز دارند.
برو به دکمه بالا
